"Третье тысячелетие" - Сколь произвольно количество граней разных размерностей?

• Сколь произвольно количество граней разных размерностей?
  Эту тему я предложил для исследования одному потоку своих студентов ИТМО. Однако она вполне доступна старшеклассникам, равно как и непрофессиональным любителям комбинаторной геометрии.
  Вопрос имеет смысл даже для многогранника в трёхмерном пространстве. Обозначим через В число его вершин, Р - рёбер и Г - плоских граней. Ясно, что эти три числа не могут быть совершенно произвольными. Прежде всего, В>3 и Г>3 (а в многомерном случае как число вершин, так и число гиперграней должны быть больше размерности пространства). Так как из каждой вершины выходит не менее трёх рёбер (но каждое ребро имеет два конца), то значение дроби Р/В не может быть меньше полутора. Аналогично, так как граница каждой грани содержит не менее трёх рёбер (но каждое ребро имеет две стороны на поверхности многогранника), то значение дроби Р/Г тоже не может быть меньше полутора. Наконец, в случае выпуклого многогранника эти три числа связывает теорема Эйлера: В-Р+Г=2.
  Вопрос: полна ли эта система соотношений?
  Ясно, что из этих пяти соотношений можно вывести многочисленные следствия. Например, так как Р=В+Г-2, то число рёбер не может быть меньше 6. Поэтому важно подчеркнуть, что речь идёт именно о независимых соотношениях.
  Чтобы обосновать положительный ответ (если он верен!), Вы должны доказать, что если три произвольных натуральных числа В, Р и Г удовлетворяют соотношениям В≥4, Г≥4, 2Р≥3В, 2Р≥3Г и В-Р+Г=2, то существует выпуклый многогранник, имеющий в точности В вершин, Р рёбер и Г - плоских граней.
  Чтобы обосновать отрицательный ответ (если он верен!), Вы должны предъявить три натуральных числа В, Р и Г, удовлетворяющих перечисленным соотношениям, и объяснить, почему для этих чисел не существует выпуклого многогранника, имеющего в точности В вершин, Р рёбер и Г - плоских граней.
  Ясно, что во втором случае исчерпывающее объяснение потребует формулировки какого-то нового ограничения на числа В, Р и Г, не являющегося следствием перечисленных соотношений.
  Начать можно с более простых сопутствующих вопросов, касающихся только каких-то двух из этих трёх чисел, либо задаваемого их выбором ограничения на третье. Вот два примера таких вопросов, основанных на том наблюдении, что ни одно из пяти соотношений не связывает напрямую числа В и Г (они зависят друг от друга только косвенно – через Р).
  Верно ли, что для любых В≥4 и Г≥4 существует выпуклый многогранник в трёхмерном пространстве, имеющий в точности В вершин и Г - плоских граней?
  Если зафиксировать В и Г, то следствием системы из пяти соотношений станут верхнее и нижнее ограничения для Р. Выразите их явно. Для любого ли значения Р из интервала между ними, существует подходящий многогранник?
  Аналогичные вопросы касаются выпуклых многогранников в многомерном пространстве.
  

  Переслать